Propriétés De Stock Options

Chapitre 10 Propriétés des options sur actions Options, contrats à terme et autres dérivés, 8e édition, Copyright John C. Hull 2012 1. Présentation sur le thème: Chapitre 10 Propriétés des options sur actions Options, contrats à terme et autres dérivés, 8e édition, Copyright John C. Hull 2012 1. Transcription de la présentation: 1 Chapitre 10 Propriétés des options d'achat d'actions Options, contrats à terme et autres dérivés, 8e édition, Copyright John C. Hull 2 ​​Options de notation, contrats à terme et autres dérivés, Prix ​​de l'option d'achat européenne P: prix de l'option de vente S0: S0: Cours de bourse aujourd'hui K: Prix d'exercice T: Durée de l'option :: Volatilité du cours de l'action C: Prix de l'option d'achat américaine P: Prix d'achat américain ST: ST: Cours de l'action À l'échéance de l'option D: PV des dividendes versés pendant la durée de vie de l'option r Taux sans risque pour l'échéance T avec cont. Comp. 3 Variation des options sur les prix des options (Tableau 10.1, page 215) Options, contrats à terme et autres dérivés, 8e édition, Copyright John C. Hull 2012 Variable cpCP S0S0 K T. r D 3 4 Options Options, Futures et Une option américaine vaut au moins autant que l'option européenne correspondante C c P p 5 Appels: Une opportunité d'arbitrage Supposons qu'il existe une possibilité d'arbitrage Options, contrats à terme et autres dérivés, 8e édition, Copyright John C. Hull c 3 S 0 20 T 1 r 10 K 18 D 0 6 Cours inférieur pour les prix des options européennes d'achat Non Dividendes (Équation 10.4, page 220) c S 0 Ke - rT Options, Futures et autres Derivatives, 8e édition, Copyright John C. Hull 7 Poursuivre: Une opportunité d'arbitrage Supposons qu'il existe une possibilité d'arbitrage Options, contrats à terme et autres dérivés, 8e édition, Copyright John C. Hull p 1 S 0 37 T 0,5 r 5 K 40 D 0 8 Limite inférieure pour les prix de vente européens Aucun dividende (Équation 10.5, page 221) p Ke - rT S 0 Options, contrats à terme et autres dérivés, 8e édition, Copyright John C. Hull 9 Parité de put-call: Après 2 portefeuilles: Portefeuille A: appel européen sur une obligation zéro-coupon de stock qui paie K à l'heure T Portefeuille C: European met sur le stock les actions Options, Futures et Autres Dérivés, 8e Edition, Copyright John C. Hull 10 Valeurs Le résultat de la parité Put-Call (équation 10.6, page 222) Les deux valent max (ST, K) à la maturité des options Elles doivent donc valoir la même chose aujourd'hui. Cela signifie que c Ke - rT p S 0 Options, contrats à terme et autres dérivés, 8e édition, Copyright John C. Hull 12 Supposons quelles sont les possibilités d'arbitrage lorsque p 2.25. P 1 Options, contrats à terme et autres dérivés, 8e édition, Copyright John C. Hull Possibilités d'arbitrage c 3 S 0 31 T 0,25 r 10 K 30 D 0 13 Limites des options d'achat européennes ou américaines (sans dividendes) Options, Et d'autres dérivés, 8e édition, Copyright John C. Hull 14 Échéancier des options de vente européennes et américaines (sans dividendes) Options, contrats à terme et autres dérivés, 8e édition, Copyright John C. Hull 15 L'impact des dividendes sur les cours inférieurs à l'option Options de contrats à terme et autres dérivés, 8e édition, Copyright John C. Hull 16 Extensions de la parité de put-american Options américaines D 0 S 0 K 0 c D Ke rT p S 0 Équation p (Équations 10,8 et 10,9, page 229) . 230 Options américaines D 0 S 0 D K 0 c D Ke rT p 0 c D Ke rT p S 0 Équation 10.10 p. 230 Options américaines D 0 S 0 DK 0 c D Ke rT p titleExtensions de la parité de put-call Options américaines D 0 S 0 K 0 c D Ke rT p CSE 691 - Lecture 5 - Propriétés des options d'achat d'actions Le plus confondant est l'impact de Augmentant le taux sans risque. Si l'intérêt augmente indépendamment du cours de l'action, le coût actuel (valeur) de mon achat d'achat (mise en vente) à l'avenir diminue - bon pour l'appel, mauvais pour mettre. Dans la pratique, lorsque les taux d'intérêt montent habituellement prix des actions vers le bas, donc une augmentation des taux est mauvais pour un appel et bon pour un put. Le seul changement avec les prix des options européennes est qu'il n'y a pas de relation certaine avec la date d'expiration - par exemple, l'augmentation pourrait couvrir un paiement de dividende supplémentaire. UpperLower Bounds sur les prix des options européennes Let and be la valeur des options européennes de vente et d'achat. Nous supposons qu'aucun stock ne paie de dividendes. Étant donné qu'une option pour acheter une part de stock à tout prix positif ne peut pas être plus valable que la valeur de la part, donc. Puisqu'une option de vendre une part d'action au prix d'exercice ne peut pas valoir plus que le prix d'exercice, ainsi. Comme l'option européenne vaut au plus à l'échéance, elle ne peut valoir plus que la valeur actualisée de ce montant. Un lien plus sophistiqué, prouvable par des arguments d'arbitrage sur deux portefeuilles, est que Portfolio se compose d'une option d'achat européenne pour une action plus une valeur d'argent pour l'exécuter à temps. Cela vaut plus que le temps, ce qui implique qu'il vaut plus que maintenant, sinon il existe une possibilité d'arbitrage. Ainsi . Puisque aucune option ne peut avoir de valeur négative, un argument similaire pour puts montre que, en fait, il ya une relation de parité put-call serrée entre la valeur d'un put et call européen. Considérez les portefeuilles suivants: Portefeuille se compose d'une option d'achat européenne pour une action plus la valeur de l'argent pour l'exécuter à temps, la valeur à temps par nos arguments précédents. Portefeuille se compose d'une option de vente européenne plus une action de stock, également la valeur à temps. Étant donné qu'ils ont une valeur égale, ils doivent avoir une valeur égale maintenant, donc Des limites semblables mais plus faibles pour les options américaines Les résultats empiriques supportent essentiellement la limite sur des échelles de temps raisonnables à la résolution des coûts de transaction. En combinant les options de vente et d'achat, nous pouvons placer des paris qui donnent des résultats dans différentes conditions de marché. Une tauromachie se compose d'un achat d'un appel avec le prix d'exercice et la vente d'un appel avec le prix. Je reçois pour le premier appel et mon paiement pour la deuxième option, mais doit payer Cette stratégie limite à la fois mon risque et downside riskreturn. Toutefois, si le prix au comptant actuel, les options devraient être bon marché et la stratégie montrent des rendements élevés si le prix des actions augmente. Un écart d'ours inverse le rôle des appels au profit si le prix des actions diminue. Une mariposa propagation est conçu pour profiter de prix restant proche du prix au comptant actuel, c'est-à-dire aucune nouvelle est une bonne nouvelle. Nous achetons un appel avec prix d'exercice et un autre appel avec prix. Nous vendons deux appels avec le prix d'exercice. Si, rien ne paye pour n'importe qui. Si, je gagne avec les appels que j'ai acheté mais perdre avec les appels que j'ai vendus, en compensant les uns les autres. Si, je gagne avec mon premier appel, mais perdre avec les appels que j'ai vendus, pour un bénéfice de combinaisons de coups et d'appels D'autres stratégies de combinaison suivent d'acheter des appels et des mises. En chevauchement. J'achète à la fois un appel et un put au prix d'exercice. Ainsi, je profite de mouvements significatifs dans l'un ou l'autre sens. Cela pourrait être une bonne stratégie si une compagnie pharmaceutique devait annoncer les résultats d'un essai de médicament (positif ou négatif) dans un proche avenir. Inverser les rôles de l'achat et la vente sur un papillon est une autre façon de créer une option qui profite de grands mouvements dans les deux sens. Options sur options En principe, nous pouvons utiliser des options pour réaliser des bénéfices dans des conditions de marché données si nous pouvons prévoir correctement quelles sont ces conditions de marché. Problème d'algorithme intéressant. Sélectionnez l'ensemble optimal d'options pour bénéficier d'une distribution de probabilité de prédiction de prix donnée. En principe, ces prédictions sont difficiles ou impossibles, selon la théorie des marchés que vous croyez. L'utilisation d'options de couverture est appropriée pour réduire le risque, mais cette couverture réduit également le potentiel de hausse. En principe, la couverture par options n'augmente pas notre rendement attendu. En effet, étant donné que nous devons payer pour les options, notre rendement escompté est plus faible que si nous ne nous coupons pas. 9Propriétés destockages - 9.1 cordages de Stoc. Aperçu du texte non formaté: 9.1 cordages de Stoc prions TER Dans ce chapitre, nous examinons les facteurs affectant les prix des options d'achat d'actions. Nous utilisons un certain nombre d'arguments d'arbitrage pour explorer les relations entre les prix des options européennes, les prix des options américaines et le cours des actions sous-jacentes. Le plus important de ces relations est la parité de parité, qui est une relation entre les prix des options d'achat européennes et les prix des options de vente européennes. Le chapitre examine si les options américaines devraient être exercées tôt. Il montre qu'il n'est jamais optimal d'exercer une option d'achat américaine sur un stock non dividendepaying avant l'expiration des options, mais que dans certaines circonstances, l'exercice précoce d'une option de vente américaine sur un tel stock est optimal. FACTEURS AFFECTANT OPTION PRLCES Il existe six facteurs affectant le prix d'une option d'achat d'actions: 1. Le prix actuel de l'action, SO Le prix d'exercice, K Le temps d'expiration, T La volatilité du cours de l'action, a Le taux d'intérêt sans risque, R Les dividendes attendus pendant la durée de vie de l'option 573quot. Dans cette section, nous considérons ce qui arrive aux prix des options lorsque l'un de ces facteurs change, tous les autres restant xed. Les résultats sont résumés au tableau 9.1 Les figures 9.1 et 9.2 montrent comment les prix européens d'appel et de prix dépendent des premiers facteurs dans la situation où 50 50, K: 50, r: 5 par an, a: 30 par an, T 1 an , Et il n'y a pas de dividendes. Dans ce cas, le prix d'appel est 7.116 et le prix de vente est 4.677. Prix ​​d'Actions et Prix d'Exercice Si une option d'achat est exercée à un moment ultérieur, le gain sera le montant par lequel le cours de l'action dépasse le prix d'exercice. Les options d'achat deviennent donc plus précieuses en raison de l'augmentation de la valeur d'une variable tout en conservant toutes les autres. Variable Européen Européen Américain Américain Appel Appel mis Prix actuel de l'action Prix d'exercice Heure d'expiration. Volatilité Taux sans risque Montant des dividendes futurs - indique qu'une augmentation de la variable provoque l'augmentation du prix de l'option indique qu'une augmentation de la variable fait en sorte que le prix de l'option diminue Zindicates que la relation est incertaine. Le prix des actions augmente et moins précieux que le prix d'exercice augmente. Pour une option de vente, le paiement à l'exercice est le montant par lequel le prix d'exercice dépasse le cours de l'action. Les options de vente se comportent donc en sens inverse des options d'achat: elles deviennent moins précieuses à mesure que le cours des actions augmente et qu'elles sont plus précieuses à mesure que le prix d'exercice augmente. Les graphiques 9.1 (ad) illustrent la façon dont les prix de vente et d'appel dépendent du prix de l'action et du prix d'exercice. Moment de l'expiration Considérons maintenant la date d'expiration. Les options américaines de mise et d'appel deviennent de plus en plus précieuses à mesure que le délai d'expiration augmente. Supposons que nous ayons deux options américaines qui ne se limitent qu'à la date d'expiration. Le propriétaire de l'option longue vie a toutes les possibilités d'exercice ouvertes au propriétaire de la vie courte option-wand plus. L'option de longue vie doit donc toujours valoir au moins autant que l'option de courte durée. Bien que les options de vente et d'achat européennes deviennent habituellement plus précieuses à mesure que le délai d'expiration augmente (voir, par exemple, les figures 9.1 (e, f)), ce n'est pas toujours le cas. Considérons deux options d'achat européennes sur un stock: une avec une date d'expiration en 1 mois, l'autre avec une date d'expiration en 2 mois. Supposons qu'un dividende très important soit attendu en 6 semaines. Le dividende fera baisser le cours de l'action, de sorte que l'option shortlife pourrait valoir plus que l'option long-life. Volatilité La manière précise dont la volatilité est dénée est discutée au chapitre 13. La volatilité d'un cours d'actions est en gros une mesure de l'incertitude quant aux fluctuations futures des cours des actions. Comme la volatilité augmente, la chance que le stock va faire très bien ou très mal augmente. Pour le propriétaire d'un stock, ces deux résultats tendent à se compenser. Toutefois, ce n'est pas le cas pour le propriétaire d'un appel ou de mettre. Le propriétaire d'un appel bénéficie de la hausse des prix, mais a limité le risque de baisse en cas de baisse des prix parce que le plus le propriétaire peut perdre est le prix de l'option. De même, le propriétaire d'un prix de vente baissé, mais a limité le risque à la baisse dans le cas des augmentations de prix. Les valeurs des appels et des puts augmentent donc à mesure que la volatilité augmente (voir figures 9.2 (a, b)). Taux d'intérêt sans risque Le taux d'intérêt sans risque affecte le prix d'une option d'une manière moins claire. Figure 9.1 Effet de la variation du cours des actions, du prix d'exercice et de la date d'expiration sur les prix des options lorsque S0 50, K 2 50,1- 5, a 30, Et T. 1. Option d'achat Prix d'option de vente, prix c, p 0 20 40 i 60 80 100 0 20 4O 60 80 100 (a) (b) Option d'achat Prix d'option d'achat, 0 prix, p 0 20 4O 60 80 100 0 20 4O 60 80 100 (C) (d) Option d'achat Prix d'option de vente, prix c, p 10 10 2 Délai jusqu'à 2 Délai d'expiration, T expiration, T 0 1 I lt gt OJII y 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 208 CHAPITRE 9 Figure 9.2 Effet des variations de la volatilité et du taux d'intérêt sans risque sur les prix des options lorsque So 2 50, K: 50,1 5, Cr: 2 30 et T: 2 1. Prix de l'option call, c Prix ​​d'option de vente, p 3 Volatilité, 3 Volatilité, 6 (Nous) 0 (70) 0 ll .1. J). (B) Option d'achat Prix d'option de vente, c Prix, P 2 Sans risque 2 Taux sans risque, r (70) taux, r () O Ll J 0 l L l l. Gt O 2 4 6 8 O 2 4 6 8 (C) (d) tend à augmenter. De plus, la valeur actualisée de tout encaissement futur reçu par le porteur de l'option diminue. L'effet combiné de ces deux effets est d'augmenter la valeur des options d'achat et de diminuer la valeur des options de vente (voir figures 9.2 (c, d)). Il est important de souligner que nous supposons que les taux d'intérêt changent alors que toutes les autres variables restent les mêmes. En particulier, nous supposons que les taux d'intérêt changent alors que le cours des actions reste le même. En pratique, lorsque les taux d'intérêt augmentent (baisse), les cours des actions ont tendance à diminuer (augmenter). L'effet net d'une hausse des taux d'intérêt et la baisse du prix des actions qui l'accompagne peuvent être de diminuer la valeur d'une option d'achat et d'augmenter la valeur d'une option de vente. De même, l'effet net d'une baisse des taux d'intérêt et l'augmentation du prix des actions qui l'accompagne peuvent être d'augmenter la valeur d'une option d'achat et de diminuer la valeur d'une option de vente. Montant des dividendes futurs Les dividendes ont pour effet de réduire le cours de l'action à la date ex-dividende. C'est une mauvaise nouvelle pour la valeur des options d'achat et de bonnes nouvelles pour la valeur des options de vente. La valeur d'une option d'achat est donc négativement liée à la taille d'un dividende futur anticipé et la valeur d'une option de vente est positivement liée à la taille d'un dividende futur prévu. Propriétés des options d'achat d'actions 209 9.2 9.3 HYPOTHÈSES ET NOTATION Dans ce chapitre, nous ferons des hypothèses semblables à celles établies pour la détermination des prix à terme et des contrats à terme dans le chapitre 5. Nous supposons qu'il y a certains participants au marché, Sont vraies: 1. Il n'y a pas de coûts de transaction. 2. Tous les instruments de négociation (nets de pertes de négociation) sont assujettis au même taux d'imposition. 3. Les emprunts et les prêts sont possibles au taux d'intérêt sans risque. Nous supposons que ces participants au marché sont prêts à profiter des occasions d'arbitrage qui se présentent. Comme indiqué aux chapitres 1 et 5, cela signifie que toutes les possibilités d'arbitrage disponibles disparaissent très rapidement. Aux fins de notre analyse, il est donc raisonnable de supposer qu'il n'existe aucune possibilité d'arbitrage. Nous utiliserons la notation suivante: S0: cours actuel K: prix d'exercice de l'option T: délai d'expiration de l'option ST: cours de l'action à l'échéance r: taux d'intérêt composé sans risque pour un investissement à échéance T. Valeur de l'action américaine Option d'achat pour acheter une action. Valeur de l'option de vente américaine pour vendre une action GUQ. Valeur de l'option d'achat européenne pour acheter une action p: Valeur de l'option de vente européenne pour vendre une action Il convient de noter que r est le taux d'intérêt nominal, et non le taux d'intérêt réel. On peut supposer que r gt 0. Autrement, un investissement sans risque n'offrirait aucun avantage sur la trésorerie. (En effet, si r lt 0, l'argent serait préférable à un investissement sans risque.) LES LIMITES SUPÉRIEURES ET INFÉRIEURES POUR LES PRIX D'OPTIONS Dans cette section, nous établissons des limites supérieures et inférieures pour les prix des options. Ces bornes ne dépendent pas d'hypothèses particulières sur les facteurs mentionnés dans la section 9.1 (sauf: - gt 0). Si un prix d'option est au-dessus de la limite supérieure ou au-dessous de la limite inférieure, alors il ya des possibilités protables pour les arbitragistes. Upper Bounds Une option d'achat américaine ou européenne donne au détenteur le droit d'acheter une action d'un stock pour un certain prix. Peu importe ce qui se passe, l'option ne peut jamais valoir plus que le stock. Par conséquent, le cours de l'action est une limite supérieure au prix de l'option: cho et CltS0 Si ces relations n'étaient pas vraies, un arbitrage pourrait facilement faire un prot sans risque en achetant le stock et en vendant l'option d'achat. 210 CHAPITRE 9 Une option de vente américaine ou européenne donne au porteur le droit de vendre une action d'un titre pour K. Quelle que soit la faiblesse du cours, l'option ne peut jamais valoir plus de K. Par conséquent, ps K et P s K Pour les options européennes, nous savons qu'à l'échéance l'option ne peut valoir plus que K. Il s'ensuit qu'il ne peut valoir plus que la valeur actuelle de K aujourd'hui: pg KerT Si ce n'était pas vrai, un arbitrageur pourrait faire un prot En écrivant l'option et en investissant le produit de la vente au taux d'intérêt sans risque. Un plafond inférieur pour les appels sur les actions à dividende non distribué Une limite inférieure pour le prix d'une option d'achat européenne sur un stock sans dividendes est donc Ire7. Nous examinons d'abord un exemple numérique et considérons un argument plus formel. Supposons que S0 20, K: 2 18, r 10 par an et T 2 1 an. Dans ce cas, S0 Ke 20 18equotl 3.71 ou 3.71. Considérons la situation où le prix d'appel européen est de 3,00, ce qui est inférieur au minimum théorique de 3,71. Un arbitragiste peut court-circuiter le stock et acheter l'appel pour fournir une trésorerie inow de 20,00 3,00 17,00. Si le prix de l'action est supérieur à 18,00, l'arbitrage exerce l'option pour 18,00, se termine à la fin de l'année, La position courte et fait un prot de 18,79 4- 18,00 0,79 Si le prix de l'action est inférieur à 18,00, le stock est acheté sur le marché et la position à découvert est fermé. L'arbitrageur fait alors un bénéfice encore plus grand. Par exemple, Si le prix de l'action est de 17,00, le prot arbitrage est 18,79 - 17,00 2 1,79 Pour un argument plus formel, nous considérons les deux portefeuilles suivants: Porzfolio A: une option d'achat européenne plus un montant égal à KerT Portefeuille B: Le portefeuille A, si elle est investie au taux d'intérêt sans risque, passera à K dans le temps T. Si ST gt K, l'option d'achat est exercée à l'échéance et le portefeuille A vaut ST Si ST lt K, L'option d'achat expire sans valeur et le portefeuille vaut K. Par conséquent, au temps T, le portefeuille A vaut max (ST, K) Le portefeuille B vaut ST au temps T. Par conséquent, le portefeuille A vaut toujours autant que, Des options d'achat d'actions 211 peuvent valoir plus que le portefeuille B à l'échéance des options. Il s'ensuit qu'en l'absence de possibilités d'arbitrage, cela doit aussi être vrai aujourd'hui. Parce que le pire qui peut arriver à une option d'appel est qu'il expire sans valeur, sa valeur ne peut pas être négative. Cela signifie que c 2 0 et donc 6 2 max (S0 a KerT, 0) (9.1) Exemple 9. 1 Considérons une option d'achat européenne sur un stock non distribuable lorsque le prix de l'action est de 51, le prix d'exercice est de 50 , Le délai d'échéance est de 6 mois et le taux d'intérêt sans risque est de 12 par an. Dans ce cas, So 2 51, K 2 50, T 0,5 et r 0,12. De l'équation (9.1), une limite inférieure pour le prix de l'option est SO 50e0-12X05 3.91 Limite inférieure pour les placements européens sur les actions sans dividendes Pour une option de vente européenne sur un actionnariat sans dividendes, une limite inférieure pour le prix Est Ky - so. Encore une fois, nous considérons d'abord un exemple numérique, puis nous examinons un argument plus formel. Supposons que So 2 37, K 40, r 5 par an, et T 0,5 ans. Dans ce cas, K SO. 40600305 37. 2.01 Considérons la situation où le prix de vente européen est de 1,00, ce qui est inférieur au minimum théorique de 2,01. Un arbitragiste peut emprunter 38.00 pour 6 mois pour acheter à la fois le put et le stock. À la fin des 6 mois, l'arbitrage sera tenu de rembourser 3812005 05 38,96. Si le prix de l'action est inférieur à 40,00, l'arbitrage exerce l'option de vendre l'action pour 40,00, rembourser le prêt et fait un prot de 40,00 38,96 1,04 Si le cours de l'action est supérieur à 40,00, l'arbitrage se débarrasse de l'option, , Et rembourse le prêt pour un prot encore plus grand. Pour un argument plus formel, nous considérons les deux portefeuilles suivants: Portefeuille C: une option de vente européenne plus une action Portefeuille D: un montant de trésorerie égal à Ke Si ST lt K, alors l'option du portefeuille C est exercée à l'échéance de l'option et le portefeuille devient une valeur de K. 1f ST gt K, alors l'option de vente expire sans valeur, et le portefeuille de 212 9.4 CHAPITRE 9 vaut ST pour le moment. Par conséquent, le portefeuille C vaut max (ST, K) dans le temps T. En supposant que la trésorerie est investie au taux d'intérêt sans risque, le portefeuille D vaut K dans le temps T. Ainsi, le portefeuille C vaut toujours autant et peut Parfois vaut plus que le portefeuille D dans le temps T. Il s'ensuit qu'en l'absence de possibilités d'arbitrage, le portefeuille C doit valoir au moins autant que le portefeuille D aujourd'hui. Par conséquent, P 50 2 Ke-rT ou P 2 K6an quot 50 Parce que le pire qui peut arriver à une option de vente est qu'elle expire sans valeur, sa valeur ne peut pas être négative. Cela signifie que p 2 maX (KequotT SO, 0) (9.2) Exemple 9.2 Considérer une option de vente européenne sur un stock sans dividendepayant lorsque le cours de l'action est de 38, le prix d'exercice est de 40, le temps d'échéance est de 3 mois et Le taux d'intérêt sans risque est de 10 par an. Dans ce cas, SO 2 38, K: 40, T 0,25 et r 0,10. De l'équation (9.2), une limite inférieure pour le prix d'option est Kt SO, ou - - 4050-02 - 38 1.01 APPUYER LA PARITE D'APPEL Nous établissons maintenant une relation importante entre p et c. Considérez les deux portefeuilles suivants qui ont été utilisés dans la section preVious: Portefeuille A: une option d'achat européenne plus un montant d'encaisse égal à KequotT Portefeuille C: une option de vente européenne plus une action Les deux valent max (ST, K) à l'expiration de Les options. Les options étant européennes, elles ne peuvent être exercées avant la date d'expiration. Les portefeuilles doivent donc avoir des valeurs identiques aujourd'hui. Cela signifie que c Ke p 50 (9.3) Cette relation est connue sous le nom de parité putcall. Il montre que la valeur d'un appel européen avec un certain prix d'exercice et une date d'exercice peut être déduite de la valeur d'un put européen avec le même prix d'exercice et la même date d'exercice et vice versa. Si l'équation (9.3) ne tient pas, il existe des possibilités d'arbitrage. Supposons que le prix de l'action est de 31, le prix d'exercice est de 30, le taux d'intérêt sans risque est de 10 par an, le prix d'une option d'achat européenne 3 mois est de 3, et le prix d'une threemonth européenne plit option est de 2,25. Le portefeuille C est surévalué par rapport au portefeuille A. La bonne stratégie d'arbitrage consiste à acheter les titres du portefeuille A et à court terme Titres en portefeuille C. La stratégie implique l'achat de l'appel et le court-circuit à la fois la mise et le stock, générant un cash-over positif de 3 2,25 31 30,25 à l'avance. Ce montant est investi au taux d'intérêt sans risque, ce montant passe à 30,25e01x025 31,02 en Si le prix de l'action à l'expiration de l'option est supérieur à 30, l'appel sera exercé et s'il est inférieur à 30, la cession sera exercée, dans les deux cas l'investisseur achète une action pour 30. Pour une situation alternative, supposons que le prix d'appel soit 3 et que le prix de vente soit 1. Dans ce cas, ix) 6 Ire7 3 30 .: 33-1gt312 3 .26 et pSo 1-1-31 32.00 Le portefeuille A est surévalué par rapport au portefeuille C. Un arbitrageur peut court-circuiter les titres du portefeuille A et acheter les titres du portefeuille C pour verrouiller un prot. La stratégie comprend le tableau 9.2 Possibilités d'arbitrage lorsque la parité de parité ne tient pas. Prix ​​de l'action 31 taux d'intérêt prix 10call 3. Les deux mettre et appel ont un prix d'exercice de 30 et 3 mois à l'échéance. T hree montlz prix de vente 2 2,25 T prix de vente du mois d'arbre 2 1 Action maintenant: Achat d'appel de 3 Short mis à réaliser 2,25 Short de stock à réaliser 31 Invest 30,25 pour 3 mois Action en 3 mois si 7 gt 30: Investissement Appel d'achat d'actions pour 30 Net prot 1.02 Action en 3 mois si ST lt 30: Recevoir 31.02 de l'investissement Put exercé: acheter des actions pour 30 Net prot. 1.02 Action en cours: Emprunter 29 pour 3 mois Appeler pour réaliser 3 Acheter pour 1 Acheter le stock pour 31 Action en 3 mois ifST gt 30: Appel exercé: vendre des actions pour 30 Utiliser 29.73 pour rembourser le prêt Net prot 2 0.27 Action en 3 Mois, si ST lt 30: Exercice mis en vente pour 3 Utiliser 29.73 pour rembourser le prêt Net prot 0.27 214 CHAPITRE 9 Business Snapshot 9.1 PutCall parité et structure de capital Les pionniers de l'option de prix ont été Fischer Black, Myron SchOles et Robert Mertonln au début des années 1970 , Ils ont crié que les options peuvent être utilisés pour caractériser la structure de capital d'une entreprise. Aujourd'hui, ce modèle est largement utilisé par les institutions financières pour évaluer le risque de crédit d'une entreprise. V r - .1 I Pour illustrer le modèle, considérer une société qui a des actifs qui sont nantis avec des obligations zéro et des capitaux propres. Supposons que les obligations arrivent à échéance dans 5 ans, auquel cas un paiement de capital de K est requis. L'entreprise offre des dividendes. Si les actifs valent plus de K en 5 ans, les actionnaires choisissent de rembourser les détenteurs d'obligations. Si les actifs vaut moins que K. les actionnaires choisissent de déclarer faillite et les détenteurs d'obligations finissent par posséder la société. , V La valeur de l'équité dansSyears est donc max (AT K, 0), whereIAT est la valeur des cabinets à ce moment. Cela montre que les actionnaires ont une option d'achat européenne de 5 ans sur les actifs de la société avec un prix d'exercice de K. Qu'en est-il des porteurs d'obligations Ils obtiennent min (AT, K), dans5 ans. Il en est de même pour K w max (K - AT, 0). Les détenteurs d'obligations ont donné aux actionnaires le droit de vendre. Les actifs des entreprises pour eux pour K en 5 ans. Les obligations valent donc la valeur actuelle de K moins la valeur d'une option de vente de 5 ans sur les actifs avec un prix d'exercice de K. L Li VV r quot, En résumé, si c et p sont la valeur, Options de vente, Vrespectivelys puis i Q 0 Valeur des capitaux propres. C Valeur de la dette PV (K) p Désigner la valeur des actifs de la société aujourd'hui par A0. La valeur des actifs doit être égale à la valeur totale des instruments utilisés pour la constitution de l'actif. Cela signifie qu'elle doit être égale à la somme de la valeur des capitaux propres et de la valeur de la dette, de sorte que A0 0 PV (K) - p Rearrangng cette équation, nous avons I r. I. I, c PV (K): p AO I Ceci est le résultat de la parité de l'appel d'offres dans l'équation (9.3) pour les options d'achat et de vente sur les actifs de la société. Quot quot quot V court-circuiter l'appel et acheter à la fois le put et le stock avec un investissement initial de 31 l 3z29 Lorsque l'investissement est nancé au taux d'intérêt sans risque, un remboursement de 29e01 X025 2 29.73 est requis à la fin du 3 mois. Comme dans le cas précédent, l'appel ou la mise seront exercés. La position d'achat à court terme et à long terme permet donc de vendre le titre à 30,00 €. Le prot net est donc de 30,00 29,73 2 0,27 Ces exemples sont illustrés dans le tableau 9.2. Business Snapshot 9.1 montre comment les options et la parité putcall peut nous aider à comprendre les positions de la dette et les actionnaires d'une entreprise. Propriétés des options d'achat d'actions 215 9.5 American Options La parité Putcall ne s'applique qu'aux options européennes. Cependant, il est possible de tirer quelques résultats pour les prix d'options américains. On peut montrer (voir le problème 918) que, lorsqu'il n'y a pas de dividendes, SoKltCPltSOKequotT (9.4) Exemple 9.3 Un appel américain. Option sur un stock non payant avec le prix d'exercice 20,00 et la maturité dans 5 mois vaut 1,50. Supposons que le prix actuel de l'action est de 19,00 et le taux d'intérêt sans risque est de 10 par an. D'après l'équation (9.4), on a 19 20 g C P g 19 20equot-gt512 ou 1 2 P C 2 0,18 montrant que P C se situe entre 1,00 et 0,18. Avec C à 1,50, P doit être compris entre 1,68 et 2,50. En d'autres termes, les limites supérieure et inférieure pour le prix d'un américain mis avec le même prix d'exercice et la date d'expiration que l'appel américain sont 2,50 et 1,68. EXERCICE PRÉCOCE: APPELLE UN STOCK NON DIVIDENDE Cette section démontre qu'il n'est jamais optimal d'exercer une option d'achat américaine sur un stock de dividendes non dividendes avant la date de péremption. Pour illustrer la nature générale de l'argument, considérez une option d'achat américaine sur un stock sans dividendepaying avec un mois à l'expiration lorsque le prix de l'action est de 50 et le prix d'exercice est de 40. L'option est profonde dans l'argent et l'investisseur qui Posséder l'option pourrait bien être tenté de l'exercer immédiatement. Toutefois, si l'investisseur prévoit de détenir le stock obtenu en exerçant l'option pour plus d'un mois, ce n'est pas la meilleure stratégie. Un meilleur cours d'action est de conserver l'option et de l'exercer à la fin du mois. Le prix d'exercice 40 est ensuite payé 1 mois plus tard que si l'option était exercée immédiatement, de sorte que les intérêts sont gagnés sur les 40 pour 1 mois. Parce que le stock ne paie aucun dividende, aucun revenu du stock n'est sacricé. Un avantage supplémentaire de l'attente plutôt que de l'exercice immédiat est qu'il ya une chance (bien que distant) que le prix des actions tombera en dessous de 40 en 1 mois. Dans ce cas, l'investisseur ne sera pas exercer dans un mois et sera heureux que la décision d'exercer au début n'a pas été prise Cet argument montre qu'il n'y a pas d'avantages à l'exercice précoce si l'investisseur prévoit de garder le stock pour la vie restante de la Option (1 mois, dans ce cas). Que faire si l'investisseur pense que le stock est actuellement surévalué et se demande s'il faut exercer l'option et vendre le stock Dans ce cas, l'investisseur est mieux de vendre l'option que de l'exercer.1 L'option sera acheté par un autre investisseur qui ne veut Pour tenir le stock. De tels investisseurs doivent exister: sinon le cours actuel ne serait pas de 50. Le prix obtenu pour l'option sera supérieur à sa valeur intrinsèque de 10, pour les raisons mentionnées précédemment. As an alternative strategy, the investor can keep the option and short the stock to lock in a better prot than 10. 216 9.6 CHAPTER 9 Figure 9.3 Variation of price of an American or European call option on a non - dividend-paying stock with the stock price, S0. A Call option price y K Stock price, SO For a more formal argument, we can use equation (9.1): c 2 So KerT Because the owner of an American call has all the exercise opportunities open to the owner of the corresponding European call, we must have C20 Hence, C 2 S0 Ke Given r gt 0, it follows that C gt So K. If it were optimal to exercise early, C would equal So K We deduce that it can never be optimal to exercise early. Figure 9.3 shows the general Way in which the call price varies with So. It indicates that the call price is always above its intrinsic value of max(So K, 0). As r or T or the volatility increases, the line relating the call price to the stock price moves in the direction indicated by the arrows (i. e. farther away from the intrinsic value). To summarize, there are two reasons an American call on a nondividend-paying stock should not be exercised early. One relates to the insurance that it provides. A call option, when held instead of the stock itself, in eect insures the holder against the stock price falling below the strike price. Once the option has been exercised and the strike price has been exchanged for the stock price, this insurance vanishes. The other reason concerns the time value of money. From the perspective of the option holder, the later the strike price is paid out, the better. EARLY EXERCISE: PUTS ON A NON-DIVIDEND-PAYING STOCK It can be optimal to exercise an American put option on a non-dividend-paying stock early. Indeed, at any given time during its life, a put option should always be exercised early if it is sufciently deep in the money. Properties of Stock Options 217 To illustrate this, consider an extreme situation. Suppose that the strike price is 10 and the stock price is virtually zero. By exercising immediately, an investor makes an immediate gain of 10. If the investor waits, the gain from exercise might be less than 10, but it cannot be more than 10 because negative stock prices are impossible. Furthermore, receiving 10 now is preferable to receiving 10 in the future. It follows that the option should be exercised immediately. ...... Like a call option, a put option can be viewed as providing insurance. A put option, when held in conjunction with the stock, insures the holder against the stock price falling below a certain level. However, a put option is different from a call option in that it may be optimal for an investor to forgo this insurance and exercise early in order to realize the strike price immediately. In general, the early exercise of a put option becomes more attractive as S0 decreases, as r increases, and as the volatility decreases. It will be recalled from equation (9.2) that p 2 YeJ - SO For an American put with price P, the stronger condition PZKamp must always hold because immediate exercise is always possible. Figure 9.4 shows the general way in which the price of an American put varies with S0. Provided that r gt 0, it is always optimal to exercise an American put immediately when the stock price is sufciently low. When early exercise is optimal, the value of the option is K SO, The curve representing the value of the put therefore merges into the puts intrinsic value, K So, for a sufficiently small value of So. In Figure 9.4, this value of So is shown as point A. The line relating the put price to the stock price moves in the direction indicated by the arrows when r decreases, when the volatility increases, and when T increases. Because there are some circumstances when it is desirable to exercise an American put option early, it follows that an American put option is always worth more than the Figure 9.4 Variation of price of an American put option with stock price, SO. American put price y K Stock price, So gt. 218 9.7 CHAPTER 9 Figure 9.5 Variation of price of a European put option with the stock price, So. European put price x gt - K Stock price, SO corresponding European put option. Furthermore, because an American put is some times worth its intrinsic value (see Figure 9.4), it follows that-a European put option must sometimes be worth less than its intrinsic value. Figure 9.5 shows the variation of the European put price with the stock price. Note that point B in Figure 9.5, at which the price of the option is equal to its intrinsic value, must represent a higher value of the stock price than point A in Figure 9.4. Point E in Figure 9.5 is where SO 2 0 and the European put price is Ki. EFFECT OF DIVIDENDS The results produced so far in this chapter have assumed that we are dealing with options on a non-dividend-paying stock. In this section we examine the impact of dividends. In the United States most exchange-traded stock options have a life of less than 1 year and dividends payable during the life of the option can usually be predicted with reasonable accuracy. We will use D to denote the present value of the dividends during the life of the option. In the calculation of D, a dividend is assumed to occur at the time of its err-dividend date. Lower Bound for Calls and Puts We can redene portfolios A and B as follows: Portfolio A: one European call option plus an amount of cash equal to D Ke Portfolio B: one share A similar argument to the one used to derive equation (9.1) shows that c 2 s0 D Ire-T (9.5) Properties of Stock Options 219 We can also redene portfolios C and D as follows: Portfolio C: one European put option plus one share Porlfolzo D: an amount of cash equal to D K6 A similar argument to the one used to derive equation (9.2) shows that p 2 D KgquotT 50 (9-6) Early Exercise When dividends are expected, we can no longer assert than an American call option will not be exercised early. Sometimes it is optimal to exercise an American call immediately prior to an ex-dividend date. It is never optimal to exercise a call at other times. This point is discussed further in the appendix to Chapter 13. PutCall Parity Comparing the value at option maturity of the redened portfolios A and C shows that, with dividends, the putcall parity result in equation (9.3) becomes cDKfpamp an Dividends cause equation (9.4) to be modied (see Problem 9.19) to ampDKltCPltampK. on SUMMARY There are six factors affecting the value of a stock option: the current stock price, the strike price, the expiration date, the stock price volatility, the risk-free interest rate, and the dividends expected during the life of the option. The value of a call generally increases as the current stock price, the time to expiration, the volatility, and the risk - free interest rate increase. The value of a call decreases as the strike price and expected dividends increase. The value of a put generally increases as the strike price, the time to expiration, the volatility, and the expected dividends increase. The value of a put decreases as the current stock price and the risk-free interest rate increase. It is possible to reach some conclusions about the value of stock options without making any assumptions about the volatility of stock prices. For example, the price of a call option on a stock must always be worth less than the price of the stock itself. Similarly, the price of a put option on a stock must always be worth less than the options strike price. A European call option on a nondividend-paying stock must be worth more than max(S0 KerT, 0) where S0 is the stock price, K is the strike price, r is the riskfree interest rate, and T is the time to expiration. A European put option on a nondividend-paying stock must be 220 CHAPTER 9 worth more than max(KequotT SO, 0) When dividends with present value D will be paid, the lower bound for a European call option becomes max(So D Ki, 0) and the lower bound for a European put option becomes max(KequotT D S0, 0) Putcall parity is a relationship between the price, c, of a European call option on a stock and the price, p, of a European put option on a stock. For a nondividend-paying stock, it is cKeTrTpSO For a dividendpaying stock, the put-call parity relationship is cDK6pamp Putcall parity does not hold for American options. However, it is possible to use arbitrage arguments to obtain upper and lower bounds for the difference between the price of an American call and the price of an American put: In Chapter 13, we will carry the analyses in this chapter further by making specic assumptions about the probabilistic behavior of stock prices. The analysis will enable us to derive exact pricing formulas for European stock options. In Chapters 11 and 17, we will see how numerical procedures can be used to price American options. FURTHER READING Black, F. and M. Scholes. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 81 (MayJunel973): 63759. Broadie, M. and J. Detemple. American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods, Review of Financial Studies, 9, 4 (1996): 121150. Merton, R. C. On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates, Journal of Finance, 29, 2 (1974): 449 70. Merton, R. C. Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Management Science, 4 (Spring 1973): 14183. Merton, R. C. The Relationship between Put and Call Prices: Comment, Journal of Finance, 28 (March 1973): 183454. Stoll, H. R. The Relationship between Put and Call Option Prices, Journal of Finance, 31 (May 1969): 31932. Questions and Problems (Answers in Solutions Manual) 9.1. List the six factors that affect stock option prices. 9.2. What is a lower bound for the price of a 4-month call option on a non-dividend paying stocle when the stock price is 28, the strike price is 25, and the risk-free interest rate is 8 per annum Properties of Stock Options 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8. 9.9. 9.10. 9.11. 9.12. 9.13. 9.14. 9.15. 9.16. 9.17. 221 What is a lower bound for the price of a 1-month European put option on a non dividend-paying stock when the stock price is 12, the strike price is 15, and the risk free interest rate is 6 per annum Give two reasons why the early exercise of an American call option on a nondividend - paying stock is not optimal. The rst reason should involve the time value of money. The second should apply even if interest rates are zero. The early exercise of an American put is a trade-off between the time value of money and the insurance value of a put. Explain this statement. Explain why an American call option on a dividend-paying stock is always worth at least as much as its intrinsic value. Is the same true of a European call option Explain your answer. The price of a non-dividend-paying stock is 19 and the price of a 3month European call option on the stock with a strike price of 20 is 1. The riskfree rate is 4 per annum. What is the price of a 3-month European put option with a strike price of 20 Explain why the arguments leading to putcall parity for European options cannot be used to give a similar result for American options. What is a lower bound for the price of a 6month call option on a nondividendpaying stock when the stock price is 80, the strike price is 75, and the riskfree interest rate is 10 per annum What is a lower bound for the price of a 2month European put option on a non dividend-paying stock when the stock price is 58, the strike price is 65, and the risk-free interest rate is 5 per annum A 4 month European call option on a dividendpaying stock is currently selling for 5. The stock price is 64, the strike price is 60, and a dividend of 0.80 is expected in 1 month. The riskfree interest rate is 12 per annum for all maturities. What opportun - ities are there for an arbitrageur A 1-month European put option on a non paying stock is currently selling for 2.50. The stock price is 47, the strike price is 50, and the risk-free interest rate is 6 per annum. What opportunities are there for an arbitrageur Give an intuitive explanation of why the early exercise of an American put becomes more attractive as the riskfree rate increases and volatility decreases. The price of a European call that expires in 6 months and has a strike price of 30 is 2. The underlying stock price is 29, and a dividend of 0.50 is expected in 2 months and again in 5 months. The term structure is at, with all risk free interest rates being 10. What is the price of a European put option that expires in 6 months and has a strike price of 30 Explain carefully the arbitrage opportunities in Problem 9.14 if the European put price is 3. The price of an American call on a nondividend paying stock is 4. The stock price is 31, the strike price is 30, and the expiration date is in 3 months. The riskfree interest rate is 8. Derive upper and lower bounds for the price of an American put on the same stock with the same strike price and expiration date. Explain carefully the arbitrage opportunities in Problem 9.16 if the American put price is greater than the calculated upper bound. 222 9.18. 9.19. 9.20. 921. CHAPTER 9 Prove the result in equation (9.4). (Him: For the rst part of the relationship, consider (a) a portfolio consisting of a European call plus an amount of cash equal to K, and (b) a portfolio consisting of an American put option pins one share.) Prove the result in equation (9.8). (Hint: For the rst part of the relationship, consider (a) a portfolio consisting of a European call plus an amount of cash equal to D K, and (b) a portfolio consisting of an American put option plus one share.) Regular call options on nondividend-paying stocks should not be exercised early. How ever, there is a tendency for executive stock options to be exercised early even when the company pays no dividends (see Business Snapshot 8.3 for a discussion of executive stock options). Give a possible reason for this. Use the software DerivaGem to verify that Figures 9.1 and 9.2 are correct. Assignment Questions 9.22. 9.23. A European call option and put option on a stock both have a strike price of 20 and an expiration date in 3 months. Both sell for 3. The risk-free interest rate is 10 per annum, the current stock price is 19, and a 1 dividend is expected in 1 month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader. Suppose that q, Cg, and C3 are the prices of European call options with strike prices K1, K2, and K3, respectively, where K3 gt K2 gt KL and K3 - K2 2: K2 K1. All options have the same maturity. Show that 61 g 0.5(61 C3) (Hint: Consider a portfolio that is long one option with strike price K1, long one option with strike price K3, and short two options with strike price Kg.). What is the result corresponding to that in Problem 9.23 for European put options. Suppose that you are the manager and sole owner of a highly leveraged company. All the debt will mature in 1 year. If at that time the value of the company is greater than the face value of the debt, you will pay off the debt. If the value of the company is less than the face value of the debt, you will declare bankruptcy and the debt holders will own the company. (a) Express your position as an option on the value of the company. (b) Express the position of the debt holders in terms of options on the value of the company. (c) What can you do to increase the value of your position. Consider an option on a stock when the stock price is 41, the strike price is 40, the risk free rate is 6, the volatility is 35, and the time to maturity is 1 year. Assume that a dividend of 0.50 is expected after 6 months. (a) Use DerivaGem to value the option assuming it is a European call. (b) Use DerivaGem to value the option assuming it is aEuropean put. (c) Verify that putcall parity holds. - (d) Explore using DerivaGem what happens to the price of the options as the time to maturity becomes very large. For this purpose, assume there are no dividends, Explain the results you get. View Full Document Click to edit the document details